瞽贤数学家庞特里亚金的荣耀与哀怨

数学家庞特里亚金正在打字

左起：庞特里亚金、他的导师亚历山大洛夫、数学家柯尔莫哥洛夫

◆宋 牮

1957年，我在莫斯科包曼高等工学院已念了四年炮工，专业是高炮自动控制。数学是该技术的脊梁。适逢莫斯科大学数学力学系开办了“工程师数学进修夜校”，报考后被录取。从此昼夜分读于两个学校，坚持了两年，直到毕业。

一

莫斯科地望北纬55度，夏日短暂，转瞬即逝，与南方冬天反衬。7月至8月机关学校放假两月，纷纷去赶晒宝贵的阳光。9月初上班后，白昼迅速缩短，冬季长达9个月。早8点上课，9点才日出，从不见清晨曙光。下午四五点太阳已落，无睹落霞黄昏。晚8点夜校开课，已满城灯火,进入黑夜。

夜校第一堂课是微分方程，授课的竟然是著名的盲人数学家、前苏联科学院通讯院士列夫·谢苗诺维赤·庞特里亚金。

200多名学员，第一次见到他都目瞪口呆，惊讶不已。庞那年49岁，标准俄罗斯人形象，中等身材，头发稍曲，双眼凹陷，深不可测，总低头沉思，静谧如禅。他坐在讲台一侧口授，讲课声音不低不亢，不快不慢，句句清晰，语气笃定，无一废字，极便于学员作笔记。他习惯用右手五指分夹住一串念珠，左手不断改换珠位，像在打算盘。他细听着助教女孩在黑板上写念的数学公式，不时提示纠错，“不对，那里应是小于等于而不是等于”，或者笑着说“尼娜又胡说了！第三项应该放在大括号外面。”写满黑板的公式，他“看得”比我们还清楚。最初的两节课，我们的注意力全在窥探盲师的神秘动作和风范。他讲课通俗易懂，偶尔联系力学、电学、控制实例，很少引用抽象概念，学员无玄虚之感。只用了一个学期就把常微分方程课讲完。五年后此讲义由科学院出版，获国家列宁科学奖。

列夫·庞特里亚金（Lev S.Pontryagin,1908-1988）十月革命前出生在莫斯科一个平民家庭，父母都来自农村。父亲是会计，读过6年小学，一战时被征当兵，被德军俘虏，战后遣返回国。母亲是裁缝女工，只读过一年书。列夫8岁入小学，13岁时因修煤油灯发生爆炸，双眼失明，两个眼球被摘除。忍盲回校续读，17岁中学毕业。开始想学音乐谋生，曾练过三年钢琴，不成功。文科考的不好，改学数学。1925年考入莫斯科大学物理数学系，读四年大学又两年研究生，成绩优秀，受到前苏联科学院院士、数学教授帕维尔·亚历山大洛夫（Pavel S.Alexandrov，1896-1982）的喜爱和悉心指导长达十年。大学时期随老师所好，对几何、拓扑产生了浓厚兴趣，屡有奇想，写过四篇论文，由老师帮他译成德文发表。最著名的是他找到了从球面Sn+1到Sn,n>2的所有同伦映射类，至今常被引用，对代数拓扑同调、同伦理论的发展起到了开拓和推动作用，奠定了他在代数拓扑领域中的先驱地位。毕业后留校，27岁成为教授，被授予博士学位。31岁被聘为前苏联科学院数学所拓扑几何研究室主任，同年当选为通讯院士。

上世纪50年代转向应用数学，投入控制论的研究，组领团队，在最优控制和微分博弈问题中取得突破性成就，成为控制论学科的里程碑，今以“庞特里亚金极大值原理”著名于世，广泛应用于物理、力学、航天和自动控制等工程实践。1958年当选前苏联科学院院士，1966年当选国际宇航科学院院士，1969年被授予全苏劳动英雄称号。一生获国内外褒奖无数。

二

据庞特里亚金晚年回忆，他能从幼年致命的瞽灾中冲出，活过荣光的一生，除自己超强的记忆和想象力，终生不息的蹚火拼搏精神外，起决定作用的是母爱和导师亚历山大洛夫的伯乐师情。幼年时，父亲参战被俘，后又早逝。失明后，妈妈爱子如命，护他大半生，直到92岁去世。为谋生计，先送他学音乐，三年未成。改学数学，为他请老师，家教三年，培育了对数学的爱好。苏联十月革命刚过几年，1925年要报考大学，出身非工农，父又是德俘沙俄兵，政审通不过，母亲奔求各级，疏通关系才获准。进大学后，早晚乘公交1小时，先由妈妈接送。后挂“盲人公示”，每求助同乘引路。为助子作数学，年近50岁的母亲开始学德语、英语、数学、打字、写信，为他读听数学论文，抄写笔记。据科学观察，常人从外界所得信息知识，80%靠视觉，听力和其他贡献很小，故云眼睛是灵魂的窗户。没有盲文读物，只有录音机，列夫全靠听力学习，心满数术，两耳识形。

被聘为教授后，1935年他决心写第一本书《连续群》，费时两年，背诵出40万字草稿。初披头散发，效果一般，由老师亚历山大洛夫帮他修改文字，重编章节，由母亲打印和填写公式，于1938年在美国普林斯顿出版，一举成名，震动了科学界。三年后此书获苏联国家奖。二战后被视为经典译成各种文字出版。

二战后的自动化运动改变了庞特里亚金的研究方向。上世纪50年代初，苏政府号召科学家理论联系实际，数学所领导建议他转向应用数学研究。他自己也感到“拓扑学虽美，属阳春白雪，太抽象，实用少，仅少数人能欣赏”。他与三位学生（书[2]的作者）一起到工业部门调研，请工程专家讲课，参摩实物现场，搜析国外资料，斟酌两年多，确定了以研究控制论为新方向，主攻最优控制理论，去“证明数学的潜力和存在价值”。

自1956年，庞特里亚金领导的小组陆续发表关于最优控制的最新研究成果，今称之为极大值原理，建立了在最一般情况下最优控制的必要和部分充分条件，与经典最小作用原理相洽，构建了从18-19世纪欧拉-拉格朗日（1736-1813）、哈密顿（1805-1865）的解析力学到新生控制论之间的桥梁，对正在费尽心机解决各种自动控制问题的工程界不啻久旱甘霖，一大批工程技术问题变得豁然开朗，迎刃而解。这居然是一位盲人数学家牵头获得的成就，就更加令人敬佩。此前，外行人很少知道他在拓扑学方面的成就。极大值原理公布后，崇敬他的粉丝遍布全球。

航天科学界最早觉察到极大值原理对宇航轨道设计的重要。在苏美空间科技竞赛中，前苏联在发射卫星（1957），探月（1959），探测金星（1961）、火星（1962）都获成功。有了最优控制理论——极大值原理后，例如，从地球飞往火星沿经典轨道需259天，最优轨道可缩短到131天，飞往金星从146天减少到94天。各国航天科学界欢欣鼓舞。国际宇航科学院率先选他为荣誉院士（1966）。正在航天领域雄心勃勃领先世界的前苏联政府授予他列宁勋章（1967）和劳动英雄称号（1969）。庞特里亚金在数学界也因此名望大振，旋即被选为国际数学联合会副主席（1970）。通过理论联系实际，庞特里亚金达到了一生的荣耀巅峰。1960年被邀为国际自动化代表大会（IFAC，1960）首席报告人。邀他讲学的信函如雪片飞来，10年访学欧美各国15次，成为世界数学明星大师，冷战时代的前苏联火炬。他实现了自己的理念，证明了“数学和数学家们的存在价值”。

极大值原理的成功和广泛应用使庞特里亚金愈加坚定他的信念：认识客观世界和改进工程实践是数学的天赋和向前发展的源头活水。他反对把数学引向孤芳自赏的独立王国，与人类生活隔离的柏拉图主义倾向，斥之为唯心主义的形而上学。他不喜欢泛函分析，不相信希尔伯特或布尔巴基所倡建的公理体系能长成天国乐园。他公开反对在中学教科书中大讲集合论，认为那将“疏远青少年与客观世界的距离，窒息他们对自然和生活的热爱和灵感。”此论曾惹起主张中学教科书现代化的数学家们强硬反抗，双方音高弦绝，激烈争论了长达十年之久。的确，庞特里亚金的数学论文和名著中很少从公理体系出发，从不先圈定函数空间，需要什么拈什么，倒甚方便。证明极大值原理时，在可微函数类C1的运算中悖例采用了δ-函数的“针状变分（Spike Variation）”,大大简化了推理过程，未见有人反对，反而纷纷称奇。

三

庞特里亚金出生于十月革命前，成长于前苏联时代。双目失明后，受母爱呵护，母子相依为命64年。上大学后脱颖而出，老师、学校、政府视他为国宝，尽心关怀。本人勤奋，全心献身数学，一路风顺，登上巅峰，赢得全世界敬仰。但是，阴晴圆缺，不测风云，世事沧桑，人无完福。有些苦衷使他终生不能豁达。

有人控告前苏联数学大师鲁津（N.N.Luzin,1883-1950）“反苏反党”，刚当选通讯院士，31岁的庞特里亚金不相信他崇敬的这位数学家会“反革命”，打电话表示慰问，还在揭批大会上发言，公开为他辩护。他的老师、知内情的亚历山大洛夫警告他，“你的行为十分危险，你怎么能打电话给他，在大会上说那种话？！”从此与他拉开了距离。后来分道扬镳，屡生龃龉，劳燕分飞，留下一生苦涩。

其次是家事不畅。父亲去世（1927）后，母子相依为命，形影相随。母亲主持家务，万事亲躬，护犊爱深责切，专断独裁。庞无法反抗，只能用顺从回报母爱。1941年6月22日苏德战争爆发，已当选为通讯院士的列夫受到政府保护，随数学所撤离莫斯科，疏散至1500公里以东的喀山。他遵母亲之命与其好友之女塔西娅·伊万诺娃结婚后共同撤离。两年后战争危机刚过，全家随数学所迁回莫斯科。患难中易处，和平时难容。母亲嫉妒媳妇夺走儿子，对她百般限制，千种约束，事事冲突，天天吵架，拍枱倒凳，鸡犬不宁。塔西娅终于忍无可忍，独自跑到列宁格勒去攻读生物学学位，誓死不再回莫斯科，庞只好于1952年离婚。缺乏理智的母爱终于搅黄了儿子的婚姻。6年后庞才遇到另位意中人，乡村医生阿历山达·依格纳夫娜，月老是数学家德洛讷（Delone B.N.），于1958年再婚。同年当选为院士，双福迭至。妈妈虽已年近80，性格依旧，专断更甚，又与新媳不和。再吵闹十多年，直到1972年92岁去世为止，此时庞特里亚金已64岁。家事不畅是庞一生的痛苦。

庞特里亚金在前苏联时代长大成名，千种理由使他热爱自己的祖国，憧憬着美好的未来。60岁以后，他希望从“证明定理的劳作”中淡出，转向更旷达的命题，做点入世大事，都不算成功。1967年发生第三次中东战争，以色列空军发动突然袭击，摧毁了埃及的空军主力和叙利亚、约旦的大量飞机，地面部队6天内占领了西奈半岛、加沙、约旦河西岸和戈兰高地。五年后的1973年，埃及、叙利亚和约旦等为收复失地，联合组织50万军队突然进攻以色列，发起第四次中东战争。从10月6日-10月24日激战18天，双方伤亡惨重，以色列转败为胜，最后由联合国出面监督停战。前苏联支持阿拉伯各国，美国全力支持以色列。前苏政府阻止苏犹太学者迁居以色列。支持以色列的各国科学家则发起反苏运动。庞特里亚金挺身而起，为前苏联政策辩护，带头抵制参加某些国际学术会议。团队内部又与他的犹裔学生合作者波勒强斯基（V.G.Boltyanskii）因版权争议闹翻，从而留下“反犹主义者”恶名。庞觉得苦涩无奈。直到晚年他仍念念为自己的言行辩解，显得苍白，不像他的极大值原理和同伦映射那样令人信服。他可能已意识到，这类“大事”多属于NP难题（Non-Deterministic Polynomials），不可能在有限时间内用数学方法求解。

庞特里亚金于1988年5月3日逝世，享年80岁。一位瞽贤大师走完一生旅程，追随欧拉-拉格朗日等先贤，取得了光辉的成就。晚年入世做大事的祈望却处处碰壁，一事无成，抱迷茫而长终。时间不能倒流，往事又

不可追，控制论和系统科学都无奈。